Question

7．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，点F是直径BD的延长线上一点，且CF=CB．
（1）求∠CBF的度数；
（2）判断直线CF与⊙O的位置关系，并证明；
（3）若AB=3，BC=2$\sqrt{3}$，tan∠AEB=3，求线段DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，根据圆周角定理求出∠BOC，再由OB=OC得出∠OBC=∠OCB=30°，从而求得∠CBF的度数；
（2）由CF=CB得出∠F=30°，进而求得∠BCF=120°，继而由∴∠OCF=∠BCF-∠OCB=90°，可得出OC⊥FC，从而得出CF是⊙O的切线．
（3）作BG⊥AC于G，CH⊥BF于H，根据直角三角函数和勾股定理求得AE、BE、CE，然后根据相交弦定理就可求得DE的长．

解答 （1）解：连接OC，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
即∠CBF=30°．
（2）相切；
证明：∵CF=CB，
∴∠CBF=∠F=30°，
∴∠BCF=120°，
∴∠OCF=∠BCF-∠OCB=90°，
∴OC⊥FC，
∴CF是⊙O的切线．
（3）解：作BG⊥AC于G，CH⊥BF于H，
∵∠A=60°，AB=3，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵tan∠AEB=3，
∴$\frac{BG}{EG}$=3，
∴EG=$\frac{BG}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AE=AG+GE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{B{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，
∵∠FBC=30°，BC=2$\sqrt{3}$，
∴HC=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$
∵tan∠AEB=3，
∴tan∠HEC=3，
∴$\frac{HC}{HE}$=3，
∴HE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴EC=$\sqrt{H{C}^{2}+H{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$，
∵DE•BE=CE•AE，
∴DE=$\frac{CE•AE}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{30}}{3}×\frac{3+\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{30}}{2}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角函数以及勾股定理的应用，分别求得AE、BE、CE是求得DE的关键．