Question

在平行四边形ABCD中，E为BC上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC．
（1）求证：AE⊥DE．
（2）过A、D、E三点作圆交AB于F，连DF交AE于G，若

AB

AE

=

5

8

，求tan∠AGF的值．

Answer 1

分析：（1）因为平行四边形的邻角互补，有角平分线的性质可得∠EAD和∠EDA的和是90°，所以能求出∠AED=90°，即AE⊥DE．
（2）由（1）知AD是圆的直径，所以角AFF是90°，求tan∠AGF的值，可以转化为求

AF

FG

的值，此值可利用证相似三角形得到．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD+∠CDA=180°．
∵AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC，
∴∠EAD=

1

2

∠BAD，∠EDA=

1

2

∠ADC，
∴∠EAD+∠EDA=

1

2

（∠BAD+∠CDA）=90°，
∴∠AED=90°．
即AE⊥DE．

（2）解：设AB=CD=5k，AE=8k，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE．
∵AD∥CE，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD=5k．
同理AB=BE=5k，
∴AD=BC=10k，
又∵AE=8k，∠AED=90°，
∴DE=6k．
∵∠BAE=∠EAD，∠AFG=∠AED=90°，
∴△AFG∽△AED．
∴

FG

AF

=

DE

AE

，
即

FG

AF

=

6k

8k

=

3

4

，
∴tan∠AGF=

AF

FG

=

4

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，常用的相似判定方法有：平行线，AA，SAS，SSS；常用到的性质：对应角相等；对应边的比值相等；面积比等于相似比的平方．