Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD的边AD与x轴的正半轴重合，另三边都在第四象限内，已知点A（1，0），AB=2，AD=3，点E为OD的中点，以AD为直径作⊙M，经过A、D两点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P．
（1）求经过C、E两点的直线的解析式；
（2）如果点P同时在⊙M和矩形ABCD内部，求a的取值范围；
（3）过点B作⊙M的切线交边CD于F点，当PF∥AD时，判断直线CE与y轴的交点是否在抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法易得直线CE的解析式为y=-x+2；
（2）A（1，0），D（4，0）代入解析式得y=ax²-5ax+4a，可知定点（

5

2

，-

9a

4

），根据点P同时在⊙M和矩形ABCD内部可列不等式

a＞0 - 3 2 ＜- 9a 4 ＜0

，解得0＜a＜

2

3

；
（3）设DF=d，则3²+（2-d）²=（2+d）²，得d=

9

8

，根据

9

4

a=

9

8

，可知a=

1

2

，所以y=

1

2

x²+（-

5

2

）x+2，把（0，2）代入可知CE与y轴的交点在抛物线上．

解答：解：
（1）由题意得E（2，0），C（4，-2）1分
故易得直线CE的解析式为y=-x+2   3分

（2）A（1，0），D（4，0）代入抛物线
解析式得y=ax²-5ax+4a
定点（

5

2

，-

9a

4

）4分
∴

a＞0 - 3 2 ＜- 9a 4 ＜0

得0＜a＜

2

3

6分

（3）设DF=d，则3²+（2-d）²=（2+d）²
∴d=

9

8

8分
由

9

4

a=

9

8

知a=

1

2

，∴y=

1

2

x²+（-

5

2

）x+2，把（0，2）代入可知CE与y轴的交点在抛物线上．

点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和圆的有关性质，函数图象上点的意义等．要熟练掌握才能灵活运用．