Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）AC=

 

cm，BC=

 

cm；
（2）当t=5（s）时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值；
（3）设点P的运动时间为t（s），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（4）探求（3）中得到的函数y有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；
（2）根据所给的条件求出AP和CQ的长，得出PQ垂直平分AC，再根据三角形的面积公式求出当点M在点P处时，CM+BM=AP+BP=AB为最短，从而得出△BCM周长的最小值；
（3）分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；
（4）分两种情况讨论，当0＜t≤3时和3＜t＜7时，根据（3）求出的y与t的函数关系式，分别进行整理，即可得出答案．

解答：解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，
解得：x=2，
则AC=8cm，BC=6cm；
故答案为：8，6；

（2）如图1：∵点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，
∴当t=5时，AP=5，
∵点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，
∴CQ=4，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ垂直平分AC，
∴CM=AM，CP=AP，
∴△BCM的周长是：BC+CM+BM=6+CM+BM，
∴当点M在点P处时，CM+BM=AP+BP=AB为最短，
此时，△BCM的周长最小，最小值为：6+10=16；

（3）如图2：当Q在BC上运动时，过Q作QH⊥AB于H，
∵AP=t，BQ=2t，
∴PB=10-t，
∵△BQH∽△BAC，
∴

2t

10

=

QH

8

，
∴QH=

8

5

t，
∴y=

1

2

•（10-t）•

8

5

t=

4

5

t2+8t（0＜t≤3）；
如图3：当Q在CA上运动时，过Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=t，BQ=2t，
∴PB=10-t，AQ=14-2t，
∵△AQH′∽△ABC，
∴

14-2t

10

=

QH′

6

，
∴QH′=

3

5

（14-2t），
∴y=

1

2

•（10-t）•

3

5

（14-2t）=

3

5

t²-

51

5

t+42（3＜t＜7），

（4）当0＜t≤3时，y=-

4

5

t²+8t=-

4

5

t²+8t，
则当t=3时，y_max=

84

5

，
当3＜t＜7时，y=

3

5

t²-

51

5

t+42=

3

5

（t-

17

2

）²-

27

20

无最大值，
则当t=3时，y_max=

84

5

．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．