Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．
（1）求证：∠EDF=∠CDF；
（2）求证：AB²=AF•AD；
（3）若BD是⊙O的直径，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）可根据切割线定理先得出关于FD，FA，FC，FB的比例关系，然后得出三角形FDC和FBA相似，因此可得出∠CDF=∠ABC，∠EDF和∠ADB是对顶角，因此只要证得∠ABC=∠ADB相等即可，AB=AC，∠ABC=∠ACB，而∠ACB和∠ADB又对应同一段弧，因此也就相等了，至此便可得出本题的结论；
（2）关键是证△ABD，△ABF相似，已经有一个公共角，根据（1）中证明的过程我们不难得出∠ABC=∠CDF，得到两三角形相似后根据相似三角形的对应边对应比例即可得出所求的结果；
（3）可根据（2）的结果来求AF，关键是求AB，AD的值．如果∠EDC=120°，那么∠EDF=∠ADB=∠ACB=60°，我们得出了△ABC是个等边三角形，这样就求出了AB的长，下面求AD的值，直角三角形ABD中，∠ABD=30°，AB=6，因此根据三角函数可求出AD的长，然后根据（2）的结果便可求出AF的长．

解答：（1）证明：根据切割线定理的推论可知：FD•FA=FC•FB
∵∠F=∠F，
∴△FDC∽△FBA，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB（所对的弧相等）
∴∠ABC=∠ADB=∠EDF，
∴∠EDF=∠CDF；

（2）证明：由（1）已得出∠ADB=∠ABC，
∵∠BAD=∠FAB，
∴△BAD∽△FAB，
∴AD：AB=AB：AF
∴AB²=AF•AD；

（3）解：∵∠EDC=120°，
∴∠EDF=∠CDF=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=30°
Rt△ABD中，AB=6cm，∠ABD=30°，
∴AD=AB•tan30°=2

3

（cm），
由（2）知道：AB²=AF•AD，即6×6=AF×2

3

∴AF=6

3

（cm）．

点评：本题主要考查了切割线定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，通过切割线定理求出三角形相似从而得出角相等是解题的关键．