Question

将一个圆分成三个相同的扇形，将其中一个卷成圆锥，锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值是

 

．

Answer 1

考点：圆锥的计算

专题：计算题

分析：设扇形的半径为R，圆锥的底面圆的半径为r，SA=AB=R，OA=r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得2πr=

1

3

•2πR，
则r=

1

3

R，作BH⊥SA，连结SO，在Rt△SOB中，根据勾股定理计算出OS=

2 2

3

R，再利用面积法得到BH=

4 2

9

R，在Rt△BHS中，根据勾故定理得到SH=

7

9

R，
然后根据余弦的定义得cos∠BSH=

SH

SB

=

7

9

．

解答：解：如图，设扇形的半径为R，圆锥的底面圆的半径为r，
则SA=AB=R，OA=r，
∴2πr=

1

3

•2πR，
∴r=

1

3

R，
作BH⊥SA，连结SO，
在Rt△SOB中，OS=

SB2-OB2

=

2 2

3

R，
∵

1

2

BH•SA=

1

2

AB•SO，
∴BH=

2 3 R• 2 2 3 R

R

=

4 2

9

R，
在Rt△BHS中，SH=

SB2-BH2

=

7

9

R，
∴cos∠BSH=

SH

SB

=

7

9

．
∴锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值为

7

9

．

故答案为

7

9

．

点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理和锐角三角函数．