Question

【题目】点A，C，为半径是6的⊙O上两点，点B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，使点D落在⊙O内（不含圆周上），则下列结论：①直线BD必过圆心O；②菱形ABCD的边长a的取值范围是0＜a＜10；③若点D与圆心O重合，则∠ABC=120°；④若DO=2，则菱形ABCD的边长为或．其中正确的是（　　）

A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根据垂径定理的推论即可解决问题；
②当BD是直径时，边长最大，最大值为6，故②错误；
③如图2中，当点D与点O重合时，易知△ABO，△BOC都是等边三角形，由此即可解决问题；
④分两种情形分别求解即可判定；

如图1中，连接AC、BD交于点K．

∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分线段AC，
∴直线BD经过圆心O，设直线BD交⊙O于H．故①正确，
当BD是直径时，边长最大，最大值为6，故②错误，
如图2中，当点D与点O重合时，易知△ABO，△BOC都是等边三角形，
∴∠ABO=∠CBO=60°，
∴∠ABC=120°．故③正确，

如图3中，当点D在BO的延长线上时，

∵OD=2，OB=6，
∴BD=8，
∴BK=DK=4，OK=2，
∴AK2=OA2-OK2=32，
AB= ，
当点D在线段OB上时，同法可得AB=2 ，
∴AB=4或2，故④错误；
故选：A．