Question

13．如图1，平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+1与抛物线y=-x²+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为$\frac{7}{2}$，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合），作PC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示PC的长；②求PC长的最大值；
（3）如图2，连接PA，若∠PAB=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出A、B两点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题；
（2）①作PF⊥x轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D．设P（m，-m²+4m+1），则E（m，$\frac{1}{2}$m+1），由△PCE∽△DOA，可用m表示出PC；②利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）过点A作AC∥x轴，交抛物线与点C，作CD∥y轴交AB与点D，将△ACD旋转90°得到△AEF，延长EF交AP与点G，连结GD．先求得点C和点D的坐标，然后由旋转的性质求得点E的坐标，然后再证明△AEG≌△ADG，依据全等三角形的性质可知EG=DG．设点D的坐标为（x，y），由两点间的距离公式可得到点G的坐标y与x直线的关系式为y=3x+1，将y=3x+1与y=-x²+4x+1联立可求得点P的坐标．

解答 解：（1）将x=0代入y=$\frac{1}{2}$x+1得：y=1，
∴A（0，1）．
将x=$\frac{7}{2}$代入y=$\frac{1}{2}$x+1得：y=$\frac{11}{4}$，
∴B（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{4}$），
把A、B两点坐标代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-\frac{49}{4}+\frac{7}{2}b+c=\frac{11}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x+1；

（2）如图1，作PF⊥x轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D．

把y=0代入y=$\frac{1}{2}$x+1得：$\frac{1}{2}$x+1=0，解得x=-2，
∴D（-2，0）．
设P（m，-m²+4m+1），则E（m，$\frac{1}{2}$m+1），
∵点P在直线AB上方，
∴PE=-m²+4m+1-（$\frac{1}{2}$m+1）=-m²+$\frac{7}{2}$m，
∵OA=1，OD=2，AD=$\sqrt{5}$，
∵PF∥OA，
∴∠DAO=∠DEF=∠PEC，
∵∠AOD=∠PCE=90°，
∴△PCE∽△DOA，
∴$\frac{PC}{DO}$=$\frac{PE}{AD}$，即$\frac{PC}{2}$=$\frac{-{m}^{2}+\frac{7}{2}m}{\sqrt{5}}$
∴PC=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m²-$\frac{7}{2}$m），
∵PC=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m²-$\frac{7}{2}$m）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m-$\frac{7}{4}$）²+$\frac{49\sqrt{5}}{40}$，
∵-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜0，
∴m=$\frac{7}{4}$时，PC有最大值，最大值为$\frac{49\sqrt{5}}{40}$；

（3）如图2所示，过点A作AC∥x轴，交抛物线与点C，作CD∥y轴交AB与点D，将△ACD旋转90°得到△AEF，延长EF交AP与点G，连结GD．

将y=1代入抛物线的解析式得：-x²+4x+1=1，解得：x=0或x=4．
∴点C的坐标为（4，1）．
将x=4代入直线AB的解析式得：y=3，
∴点D的坐标为（4，3）．
由旋转的性质可知：AF=AC=4，EF=DC=2，AE=AD．
∴点E的坐标为（-2，5）．
在△AEG和△ADG中$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAG=∠GAD=45°}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△ADG．
∴EG=DG．
设点D的坐标为（x，y），由两点间的距离公式可知：（x+2）²+（y-5）²=（x-4）²+（y-3）²，
整理得：y=3x+1．
∴直线AG的解析式为y=3x+1．
将y=3x+1代入y=-x²+4x+1得：3x+1=-x²+4x+1，整理得：x²-x=0，解得：x=0或x=1．
∴点P的横坐标为1．
将x=1代入y=3x+1得：y=4．
∴点P的坐标为（1，4）．

点评 本题考查二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质、全等三角形的性质和判定，求得直线AG的解析式是解题的关键．