Question

直线y=k₁x与双曲线y=

k2

x

交于A、B两点（k₁，k₂为大于0的常数）．
（1）如图1，若点A的坐标为（2，4）
①求k₁和k₂的值；
②过A作AP⊥x轴，垂足为P，Q是坐标平面上的点，且以点A、O、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；
（2）如图2，若点A的坐标为（a，b），点C（c，d） 是双曲线上的动点，且点C在点A的上方，直线AC与y轴、x轴分别交于D、E两点，直线BC与y轴、x轴分别交于F、G两点．
①求证：∠CGE=∠CEG；
②△ADF的面积能不能为定值？若能，求出此定值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）①把A（2，4）分别代入两个解析式可求出k₁=2，k₂=8；
②分类讨论：根据平行四边形的性质，当OA为对角线时，可得Q（0，4）；当OP为对角线时，可得Q（0，-4）；当AP为对角线时，可得Q（4，4）；
（2）①过C作CN∥y轴，过B作BN∥x轴，它们交于N点，过A点作AM∥x轴交CN于M，如图2，根据关于原点中心对称的点的坐标特征得到B点坐标为（-a，-b），易得AM∥GE，则∠CEG=∠CAM，在Rt△ACM中，根据正切的定义得tan∠CAM=

d-b

a-c

，
则tan∠CEG=

d-b

a-c

，利用点A和点C在反比例函数图象上得到ab=cd=k₂，即

b

c

=

d

a

，根据比例的性质得

b

c

=

d

a

=

d-b

a-c

，则tan∠CEG=

b

c

，同样在Rt△CBN中，tan∠CBN=

d+b

a+c

=tan∠CGE，利用比例性质得

b

c

=

d

a

=

b+d

a+c

，则tan∠CGE=

b

c

，所以∠CEG=∠CGE；
②过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图3，则CH∥GE，则∠DCH=∠CEG，∠HCF=∠CGE，而∠CEG=∠CGE，所以∠DCH=∠HCF，根据等腰直角三角形的判定方法得到△CDF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得DH=HF，由于tan∠DCH=

DH

HC

=tan∠CAG=

b

c

，而HC=c，则DH=b，DF=2b，然后根据三角形的面积公式得S_△ADF=

1

2

•2b•a=k₂，于是可判断△ADF的面积为定值．

解答：解：（1）①∵直线y=k₁x与双曲线y=

k2

x

都经过A（2，4），
∴k₁=

4

2

=2，k₂=2×4=8，
②∵AP⊥x轴，以点A、O、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴当OQ∥AP时，如图1，则OQ₁=AP=4，或OQ₂=AP=4，
∴Q₁（0，4），Q₂（0，-4），
当OP∥AQ时，则AQ₃=OP=2，
∴Q₃（4，4），
即满足条件的Q点的坐标为（0，4）、（0，-4）、（4，4）；

（2）①过C作CN∥y轴，过B作BN∥x轴，它们交于N点，过A点作AM∥x轴交CN于M，如图2，B点坐标为（-a，-b），
∴AM∥GE，
∴∠CEG=∠CAM，
在Rt△ACM中，tan∠CAM=

d-b

a-c

，
∴tan∠CEG=

d-b

a-c

，
∵ab=cd=k₂，即

b

c

=

d

a

，
∴

b

c

=

d

a

=

d-b

a-c

，
∴tan∠CEG=

b

c

，
在Rt△CBN中，tan∠CBN=

d+b

a+c

，
∴tan∠CGE=

d+b

a+c

，
∵ab=cd，即

b

c

=

d

a

，
∴

b

c

=

d

a

=

b+d

a+c

，
∴tan∠CGE=

b

c

，
∵∠CEG、∠CGE都是锐角，
∴∠CEG=∠CGE；
②△ADF的面积为定值．
过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图3，
则CH∥GE，
∴∠DCH=∠CEG，∠HCF=∠CGE，
而∠CEG=∠CGE，
∴∠DCH=∠HCF
∴△CDF是等腰三角形，
∴DH=HF，
∵tan∠DCH=

DH

HC

=tan∠CAG=

b

c

，
而HC=c，
∴DH=b，
∴DF=2b，
∴S_△ADF=

1

2

•2b•a=k₂，
∴△ADF的面积为定值k₂．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质和平行四边形的性质；会运用锐角三角函数的定义和比例的性质进行计算．