Question

如图所示，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A、B、C的坐标分别为(－3，－1)、(－3，－3)、(－3＋，－2)．现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A₁B₁C₁，再以x轴为对称轴作△A₁B₁C₁的对称图形，得△A₂B₂C₂．

(1)直接写出点C₁、C₂的坐标；

(2)能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A₂B₂C₂的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答(不必说明理由)；

(3)设当△ABC的位置发生变化时，△A₂B₂C₂、△A₁B₁C₁与△ABC之间的对称关系始终保持不变．①当△ABC向上平移多少个单位时，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合？并直接写出此时点C的坐标；②将△ABC绕点A顺时针旋转α°(0≤α≤180)，使△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合，此时α的值为多少？点C的坐标又是什么？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)点C1、C2的坐标分别为(3－，－2)、(3－，2)． 　　(2)能通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2的位置，所旋转的度数为180° 　　(3)①当△ABC向上平移2个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点的坐标为(－3＋，0)(如图(1))；②当α＝180时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点的坐标为(－3－，0)(如图(2))． 　　解析：本题以图形与变换、图形与坐标、连续两次轴对称变换与中心对称的关系等有关知识以及空间想象能力作为考查对象，通过图形的运动将平移、旋转、坐标等知识有机地结合在一起，并进一步在运动变化中研究图形坐标的变化，设问层层递进，使得不同水平的学生都有机会表达自己对问题的理解． 　　①根据△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，则对应点的横、纵坐标相等，又△A1B1C1与△A2B2C2对应点的纵坐标互为相反数，而C1(0，y1)与C2(0，y2)是对应点，所以y1＝y2且y2＋y2＝0，因此得y1＝y2＝0；②由△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，则C1与C2必重合，而△ABC与△A2B2C2成中心对称，△ABC必须旋转到使点C在x轴上，因此α＝180，C(－3－，0)．