Question

（2006•湖州）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=______度，P点坐标为______

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△OAC中，根据三角函数就可以求出∠CAO的度数，以及∠OCA的度数．而∠PCA=∠OCA∠BCA=∠CAO，则：∠PCB就可以求出．在直角△PCG中，根据三角函数可以求得CG，PG的长，从而得到P的坐标．
（2）P、A两点的坐标容易得到，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．求出b，c的值．C点的坐标已知，代入函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上．
（3）过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G，根据S_△CMP=s_△CME+S_△PME，四边形MCAP的面积就可以表示成OF的函数，利用函数的性质，就可以求出最值．
解答：解：（1）30，（，）

（2）∵点P（，），A（，0）在抛物线上，
∴
∴
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+1
C点坐标为（0，1）
∵-×0²+×0+1=1
∴C点在此抛物线上．

（3）假设存在这样的点M，使得四边形MCAP的面积最大．
∵△ACP面积为定值，
∴要使四边形MCAP的面积最大，只需使△PCM的面积最大．
过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G．
S_△CMP=s_△CME+S_△PME=ME•CG=ME
设M（x，y），
∵∠ECN=30°，CN=x，
∴EN=x
∴ME=MF-EF=-x²+x
∴S_△CMP=-x²+x
∵a=-＜0，
∴S有最大值．
当x=时，S的最大值是，
∵S_△MCAP=s_△CPM+S_△ACP
∴四边形MCAP的面积的最大值为
此时M点的坐标为（，）
所以存在这样的点M（，），使得四边形MCAP的面积最大，其最大值为．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，最值问题基本的解决思路是转化为函数问题．