【题目】学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.
类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述对角的正对定义,解下列问题:
(1)求sad60°的值;
(2)对于0°<A<180°,求∠A的正对值sadA的取值范围.
(3)已知sinα=,其中α为锐角,试求sadα的值.
【答案】(1)1;(2)0<sadA<2;(3) .
【解析】
(1)根据等腰三角形的性质,求出底角的度数,判断出三角形为等边三角形,再根据正对的定义解答;
(2)求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可;
(3)作出直角△ABC,构造等腰三角形ACD,根据正对的定义解答.
(1)根据正对定义,
当顶角为60°时,等腰三角形底角为60°,
则三角形为等边三角形,
则sad60°= =1.
(2)当∠A接近0°时,sadα接近0,
当∠A接近180°时,等腰三角形的底接近于腰的二倍,故sadα接近2.
于是sadA的取值范围是0<sadA<2.
(3)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,sin∠A= .
在AB上取点D,使AD=AC,
作DH⊥AC,H为垂足,
令BC=3k,AB=5k,
则AD=AC= =4k,
又∵在△ADH中,∠AHD=90°,sin∠A= .
∴DH=AD sin∠A= k,AH= = k.
则在△CDH中,CH=AC﹣AH= k,CD= = k.
于是在△ACD中,AD=AC=4k,CD= k.
由正对的定义可得:sadA= ,即sadα= .
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD,DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:①△ADF∽△AED; ②FG=2;③tan∠E=; ④S△DEF=4,其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【题目】如图,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA,则称点P为△ABC的布罗卡尔点,三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究“三角形几何”的热潮.已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,P为△ABC的布罗卡尔点,若PA=,则PB+PC=_____.
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【题目】赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图,若桥跨度AB约为40米,主拱高CD约10米,
(1)如图1,尺规作图,找到桥弧所在圆的圆心O(保留作图痕迹);
(2)如图2,求桥弧AB所在圆的半径R.
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【题目】口袋中装有1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出1个球,放回搅匀,再摸出第2个球,两次摸球就可能出现3种结果:(1)都是红球;(2)都是白球;(3)一红一白.请你用所学的概率知识,用画树状图的方法;求每个事件发生的概率是多少?
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【题目】如图,在锐角三角形ABC中,直线l为BC的中垂线,射线m为∠ABC的角平分线,直线l与m相交于点P.若∠BAC=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数是( )
A. 24° B. 30° C. 32° D. 36°
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【题目】如图,一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上,∠C=90°,此时,梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m.
(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC;
(2)如果梯子的顶端A下滑了0.9m,那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远?
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【题目】如图所示,△ABD和△BCD都是等边三角形,E、F分别是边AD、CD上的点,且DE=CF,连接BE、EF、FB.
求证:(1)△ABE≌△DBF;
(2)△BEF是等边三角形.
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【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图为她们剌绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),研究发现第个图案中共有个;小正方形.(为整数,且)
(1)请写出第个图案中有____个小正方形;
(2)猜想第个图案和第个图案中小正方形个数之差为
(3)证明(2)中的猜想.
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