Question

（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？
①当= 1时，是          ；
②当= 2时，是             ；
③当= 3时，是                .
请证明= 2时的结论.

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC                               
∴∠OBP = ∠ODE      ……………1分
在△BOP和△DOE中
∠OBP = ∠ODE
∠BOP =" ∠DOE    " …………………2分                     
∴△BOP∽△DOE  (有两个角对应相等的两三角形相似)        ……………3分
（2）① 平行四边形 …………………4分
② 直角梯形  …………………5分
③ 等腰梯形 …………………7分
证明：∵k = 2时，
∴ BP =" 2DE" = AD
又∵AD︰BC = 2︰3        BC = AD
PC =" BC" - BP =AD - AD =AD = ED
ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形
∵∠DCB = 90°
∴四边形PCDE是矩形            …………………8分
∴ ∠EPB =" 90°                  " …………………9分
又∵ 在直角梯形ABCD中
AD∥BC,  AB与DC不平行
∴ AE∥BP,  AB与EP不平行
四边形ABPE是直角梯形     ………………………10分
（本题其它证法参照此标准给分）

略