Question

如图是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图，围成这个纸帽的纸（圆锥的侧面）的面积为    cm²．若从纸帽的底面圆周上点A处用一条红线绕纸帽的侧面一圈，那么这样的红线至少要    cm．（红线的接头长度忽略不计）

Answer 1

【答案】分析：易得圆锥的底面半径为10cm，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长；易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的圆心角度数，求得侧面展开图中AA′的距离即为最短的红线长．
解答：解：∵圆锥的底面半径为20÷2=10cm，
∴圆锥的侧面积=π×10×30=300πcm²．圆锥的底面周长为2π×10=20πcm．
设圆锥侧面展开图的圆心角为n，
=20π，
解得n=120°．
作OC⊥AA′于点C，
∴∠AOC=60°，
∴AC=AO×sin∠AOC=15cm，
∴AA′=2AC=30cm．
故答案为300π；30．
点评：考查圆锥的计算；突破点是求得圆锥侧面展开图的圆心角度数；用到的知识点为：立体几何中的最短距离问题要转换为平面几何中求两点的距离问题；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长．