Question

在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．

（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）详见试题解析; （2）1：．

【解析】

试题分析：（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；

（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．

试题解析：（1）如图1，

在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，

∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．

∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，

∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，

∴AC=BE．

在△ACD与△BEF中，

，

∴△ACD≌△BEF，

∴CD=EF，即EF=CD；

（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，

∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，

∴四边形EQDH是矩形，

∴∠QEH=90°，

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，

又∵∠EQF=∠EHG=90°，

∴△EFQ∽△EGH，

∴EF：EG=EQ：EH．

∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，

∴∠B=30°．

在△BEQ中，∵∠BQE=90°，

∴sin∠B==，

∴EQ=BE．

在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，

∴cos∠AEH==，

∴EH=AE．

∵点E为AB的中点，∴BE=AE，

∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．

考点：1. 相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质．