Question

4．如图1，已知点A、C在反比例函数y=$\frac{a}{x}$（a＞0）的图象上，点B，D在反此例函数y=$\frac{b}{x}$（b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧．
（1）若四边形ABCD为矩形，点A的坐标为（2，3），求a、b的值；
（2）如图2，已知AB=2，CD=3，AB与CD的距离为5，若点A的纵坐标为m．
①求m的值；
②若BC、AD分别与x轴相交于点P、Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值，根据四边形ABCD为矩形，设B（t，3），D（2，n），则C（t，n），由此即可得出关于n、t、b的三元一次方程组，解方程组即可得出b值；
（2）①由点A的纵坐标，以及AB、CD间的距离即可得出点A、B、C、D四点的坐标，再根据AB=2、CD=3即可得出关于（a-b）和m的二元一次方程组（将a-b当成整体），解方程组即可求出m值；②过点A作AF∥BC，交x轴于点E，交CD于点F，由AB∥CD∥x轴，AF∥BC，即可得出四边形ABCF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出AB=PE=CF，再由DF∥QE可得出△AEQ∽△AFD，根据相似三角形的性质结合AB、CD的值即可得出EQ的值，从而得出PQ的值．

解答 解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数y=$\frac{a}{x}$（a＞0）的图象上，
∴a=2×3=6．
∵四边形ABCD为矩形，
∴设B（t，3），D（2，n），则C（t，n），
∵点C在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，点B，D在反此例函数y=$\frac{b}{x}$（b＜0）的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{nt=6}\\{3t=2n=b}\end{array}\right.$，解得：b=-6．
∴a的值为6，b的值为-6．
（2）①∵点A的纵坐标为m，AB与CD的距离为5，
∴A（$\frac{a}{m}$，m），B（$\frac{b}{m}$，m），C（$\frac{a}{m-5}$，m-5），D（$\frac{b}{m-5}$，m-5），
∵AB=2，CD=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-b}{m}=2}\\{\frac{b-a}{m-5}=3}\end{array}\right.$，解得：m=3．
②过点A作AF∥BC，交x轴于点E，交CD于点F，如图所示．
∵AB∥CD∥x轴，AF∥BC，
∴四边形ABCF为平行四边形，
∴AB=PE=CF．
∵AB与CD的距离为5，点A的纵坐标为3，
∴点D的纵坐标为-2．
∵DF∥QE，
∴△AEQ∽△AFD，
∴$\frac{EQ}{FD}=\frac{3}{5}$，EQ=$\frac{3}{5}$FD．
∵AB=2，CD=3，
∴FD=CD-AB=1，EQ=$\frac{3}{5}$，
∴PQ=PE+EQ=AB+EQ=$\frac{13}{5}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组、平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征写出点B、C、D的坐标；（2）①得出关于（a-b）和m的二元一次方程组（将a-b当成整体）；②根据相似三角形的性质求出EQ的长．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由反比例函数图象上点的坐标特征表示出A、B、C、D各点的坐标是关键．