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    （2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
    （1）求菱形ABCD的周长；
    （2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
    （3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；
    （2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；
    （3）如答图3所示，在Rt△PKD中，DK长可求出，则只有求出tan∠DPK即可．为此，在△ODM中，作辅助线，构造Rt△OND，作∠NOD平分线OG，则∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，从而问题解决．解答中提供另外一种解法，请参考．
    解答：解：（1）在菱形ABCD中，
    ∵AC⊥BD
    ∴AD=
    		302+402
    =50．
    ∴菱形ABCD的周长为200．

    （2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．
    ①当0＜t≤40时，如答图1，
    ∵sin∠OAD=
    MP
    AM
    =
    OD
    AD
    =
    3
    5
    ，
    ∴MP=AM•sin∠OAD=
    3
    5
    t．
    S=
    1
    2
    DN•MP=
    1
    2
    ×t×
    3
    5
    t=
    3
    10
    t2；

    ②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70-t，
    ∵sin∠ADO=
    MP
    MD
    =
    AO
    AD
    =
    4
    5
    ，∴MP=
    4
    5
    （70-t）．
    ∴S△DMN=
    1
    2
    DN•MP=
    1
    2
    ×t×
    4
    5
    （70-t）=-
    2
    5
    t2+28t=-
    2
    5
    （t-35）2+490．
    ∴S=
    3
    10
    t2(0＜t≤40)
    -
    2
    5
    (t-35)2+490(40＜t≤50)

    当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．
    当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480．
    综上所述，S的最大值为480．

    （3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．
    方法一：如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，
    则NF=ND•sin∠ODA=30×
    40
    50
    =24，DF=ND•cos∠ODA=30×
    30
    50
    =18．
    ∴OF=12，∴tan∠NOD=
    NF
    OF
    =
    24
    12
    =2．
    作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，则FG=GH．
    ∴S△ONF=
    1
    2
    OF•NF=S△OGF+S△OGN=
    1
    2
    OF•FG+
    1
    2
    ON•GH=
    1
    2
    （OF+ON）•FG．
    ∴FG=
    OF•NF
    OF+ON
    =
    12×24
    12+12
    		5
    =
    24
    1+
    		5
    ，
    ∴tan∠GOF=
    GF
    OF
    =
    24
    1+
    		5
    12
    =
    2
    1+
    		5
    ．
    设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=
    1
    2
    ∠DPO=
    1
    2
    ∠DON=∠FOG
    ∴tan∠DPK=
    DK
    PK
    =
    15
    PK
    =
    2
    1+
    		5
    ，
    ∴PK=
    15(
    		5
    +1)
    2
    ．
    根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′．
    ∴存在两个点P到OD的距离都是
    15(
    		5
    +1)
    2
    ．

    方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连结OI，IN．
    过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．
    当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
    ∴
    DN
    DA
    =
    NG
    AO
    =
    DG
    OD
    ，即
    30
    50
    =
    NG
    40
    =
    DG
    30
    ．
    ∴NG=24，DG=18．
    ∵EF垂直平分OD，
    ∴OE=ED=15，EG=NH=3．
    设OI=R，EI=x，则
    在Rt△OEI中，有R2=152+x2        ①
    在Rt△NIH中，有R2=32+（24-x）2     ②
    由①、②可得：
    x=
    15
    2
    R=
    15
    		5
    2

    ∴PE=PI+IE=
    15+15
    		5
    2
    ．
    根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件．
    ∴存在两个点P，到OD的距离都是
    15+15
    		5
    2
    ．
    （注：只求出一个点P并计算正确的扣（1分）．）
    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解．
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    70°
    70°
    ．

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    （1）求证：AE=CF；
    （2）求证：四边形EBFD是平行四边形．

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    （2013•龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=
    		3
    +1，AD=
    		3
    ．
    （1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为
    		6
    		6
    ；
    （2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为
    		3
    -
    1
    2
    		3
    -
    1
    2
    ；
    （3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）

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