【题目】如图,在一块直角三角板ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上,E,F分别在AC,BC上,当点D在AB边上移动时,DE始终与AB垂直,若△CEF与△DEF相似,则AD= .
【答案】 或
【解析】解:∵∠EDF=30°,ED⊥AB于D,
∴∠FDB=∠B=60°,
∴△BDF是等边三角形;
∵BC=1,∴AB=2;
∵BD=BF,
∴2﹣AD=1﹣CF;
∴AD=CF+1.
①如图1,∠FED=90°,△CEF∽△EDF,
∴ = ,即 = ,
解得,CF= ;
∴AD= +1= ;
②如图2,∠EFD=90°,△CEF∽△FED,
∴ = ,即 = ;
解得,CF= ;
∴AD= +1= .
故答案为 或 .
由于∠EDF=30°,且DE总垂直于AB,因此∠FDB=60°,从而得出△FDB是等边三角形,故BD=BF,2-AD=1-CF,即AD=CF+1.由于∠C是直角,当△CEF∽△DEF时,△DEF必为直角三角形,那么可分两种情况讨论:①∠DEF=90°,此时,△CEF∽△DEF;②∠DFE=90°,此时△CEF∽△FED;可根据各相似三角形得到的比例线段求出CF的值,进而可求得AD的值.
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【题目】某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛,在选拔比赛中,每人射击10次,他们10次成绩的平均数及方差如下表所示:
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均数/环 | 9.5 | 9.5 | 9.6 | 9.6 |
方差/环2 | 5.1 | 4.7 | 4.5 | 5.1 |
请你根据表中数据选一人参加比赛,最合适的人选是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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【题目】阅读理(解析)
提出问题:如图1,在四边形ABCD中,P是AD边上任意一点,△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系?探究发现:为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手:
当AP=AD时(如图2):
∵AP=AD,△ABP和△ABD的高相等,
∴S△ABP=S△ABD,
∵PD=AD﹣AP=AD,△CDP和△CDA的高相等
∴S△CDP=S△CDA,
∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA,
=S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)=S△DBC+S△ABC.
(1)当AP=AD时,探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式并证明;
(2)当AP=AD时,S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为: ;
(3)一般地,当AP=AD(n表示正整数)时,探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系为: ;
(4)当AP=AD(0≤≤1)时,S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为: .
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【题目】已知,点A,点B分别在线段MN,PQ上∠ACB﹣∠MAC=∠CBP
(1)如图1,求证:MN∥PQ;
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH,以点B为顶点的直角∠DBI绕点B旋转,并且∠DBI的两边分别与直线CH,AG交于点F和点E,如图2试判断∠CFB、∠BEG是之间的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN,并且∠ACB=60°,求∠CFB的度数.
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【题目】小丽手中有块长方形的硬纸片,其中长比宽多10cm,长方形的周长是100cm.
(1)求长方形的面积.
(2)现小丽想用这块长方形的硬纸片,沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5:4,面积为520cm2的新纸片作为他用.试判断小丽能否成功,并说明理由.
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,AB=6m,点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动,同时,点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,设运动时间为t(s).
(1)当t=1时,判断△APQ的形状,并说明理由;
(2)当t为何值时,△APQ与△CQP全等?请写出证明过程.
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【题目】如图,点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形,AE,CD分别与BD,BE交于点F,G,连接FG,有如下结论:①AE=CD ②∠BFG= 60°;③EF=CG;④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中,正确的结论有__________________. (填序号)
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【题目】观察下面三行数:
如图,在上面的数据中,用一个长方形圈出同一列的三个数,这列的第一个数表示为,其余各数分别用a、表示:
(1)若这三个数分别在这三行数的第列,请用含的式子分别表示的值;
(2)若记为求这三个数的和(结果用含的式子表示并化简).
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