Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O在BC上，⊙O经过点A，点C，且交BC于点D，直径EF⊥AC于点G．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若AC＝8，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）BD＝.

【解析】

（1）连接OA，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠OAC＝∠C＝30°，求出∠OAB＝120°﹣30°＝90°，得出AB⊥OA，即可得出AB是⊙O的切线；

（2）由垂径定理得出AG＝CG＝AC＝4，由直角三角形的性质得出OG＝AG＝，得出OA＝2OG＝，BO＝2OA＝2OD，即可得出BD＝OA＝．

（1）如图，连接OA，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠C＝30°，

∴∠OAB＝∠BAC-∠OAC=120°﹣30°＝90°，

∴AB⊥OA，

∴AB是⊙O的切线.

（2）解：∵直径EF⊥AC，

∴AG＝CG＝AC＝4，

∵∠OAC＝30°，

∴OG＝AG＝，

∴OA＝2OG＝，

∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，

∴BO＝2OA＝2OD，

∴BD＝OA＝．