Question

如图，在正方形ABCD的对角线OB上任取一点E，过D作AE的垂线与OA交于F．求证：OE=OF．

Answer 1

证明：在△ADE中，
∵OA⊥DE，DF⊥AE，
∴F是△ADE的垂心．
∴EF⊥AD，
∵AB⊥AD，
∴EF∥AB．
∴OF：OA=OE：OB，
∵OA=OB，
∴OE=OF．
分析：根据OA⊥DE，DF⊥AE，且三角形三条高线交于一点的性质，可以确定F是△ADE的垂心，可证EF⊥AD，即EF∥AB，由OA=OB得OE=OF．
点评：本题考查了三角形三条高线交于一点的性质，考查了正方形各内角为直角的性质，考查了平行线定理，本题中巧妙地证明F是△ADE的垂心是解题的关键．