Question

2．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x、y应为（　　）

• A． x=15，y=12
• B． x=12，y=15
• C． x=14，y=10
• D． x=10，y=14

Answer 1

分析 作DH⊥BC于H，如图，则BH=AD=8，CH=BC-BH=16，DH=AB=20，BE=y，EF=x，先证明△CEF∽△CHD，利用相似比可得y=-$\frac{4}{5}$x+24，则根据矩形面积公式得到矩形BEFG的面积=-$\frac{4}{5}$x²+24x，然后根据二次函数的最值问题求解．

解答 解：作DH⊥BC于H，如图，则BH=AD=8，CH=BC-BH=16，DH=AB=20，BE=y，EF=x，
∵EF∥DH，
∴△CEF∽△CHD，
∴$\frac{CE}{CH}$=$\frac{EF}{DH}$，即$\frac{24-y}{16}$=$\frac{x}{20}$，
∴y=-$\frac{4}{5}$x+24，
∴矩形BEFG的面积=xy=x•（-$\frac{4}{5}$x+24）
=-$\frac{4}{5}$x²+24x，
当x=-$\frac{24}{2×（-\frac{4}{5}）}$=15时，矩形BEFG的面积最大，此时y=-$\frac{4}{5}$×15=24=12．
故选A．

点评 本题考查了相似三角形的应用：先画出几何图形，再通过证明三角形相似计算出相应线段的长和线段之间的关系，然后解决问题．也考查了直角梯形的性质和二次函数的最值问题．