Question

【题目】已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．

（1）求点C的坐标；

（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使得2S△ABM=S△ABC，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（4，1）（2）（1，）

【解析】分析：（1）先求出点A、B的坐标，再求出AB、AC的长，过点C作CD⊥x轴于点D，易得△OBA∽△DAC，得出AD=2,CD=1，从而得到结论；

（2）分别求出△ABC的面积和△ABM的面积，令令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m﹣2；分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别为F、G，得到AF+BG=OA=2，由△ABM的面积=△BME的面积+△AME的面积，得到ME的长，从而求解即可.

详解：（1）令y=0，则﹣2x+4=0，

解得x=2，

∴点A坐标是（2，0）．

令x=0，则y=4，

∴点B坐标是（0，4）．

∴AB===2．

∵∠BAC=90°，tan∠ABC==，

∴AC=AB=．

如图1，

过C点作CD⊥x轴于点D，

∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠CAD=90°，

∵∴∠ABO=∠CAD，

，

∴△OAB∽△DAC．

∴===，

∵OB=4，OA=2，

∴AD=2，CD=1，

∴点C坐标是（4，1）．

（2）S△ABC=ABAC=×2×=5．

∵2S△ABM=S△ABC，

∴S△ABM=．

∵M（1，m），

∴点M在直线x=1上；

令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m﹣2；

如图2，

分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别是点F、G，

∴AF+BG=OA=2；

∴S△ABM=S△BME+S△AME=MEBG+MEAF=ME（BG+AF）

=MEOA=×2×ME=，

∴ME=，

m﹣2=，

m=，

∴M（1，）．