Question

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，给出下列说法中：
①abc＜0；②方程ax²+bx+c=0的根为x₁=-1，x₂=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤a+b≤m（am+b）（m为实数）；⑥不等式ax²+bx+c＜0的解集是，-1＜x＜3．
正确的说法序号为

②④⑤⑥

．

Answer 1

分析：①由抛物线的开口方向向下，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，确定出a，b及c的正负，即可对于abc的正负作出判断；
②由抛物线与x轴的两交点坐标得到方程ax²+bx+c=0的根为x₁=-1，x₂=3，本选项正确；
③由图象得到x=1时，对应的函数值小于0，即可作出判断；
④由抛物线的对称轴为直线x=1，利用增减性即可作出判断；
⑤不等式两边加上c，即a+b+c≤am²+bm+c（m为实数），即为x=1对应的函数值与x=m时对应的函数值比较大小；
⑥由图象得到函数值小于0时，x的范围即可作出判断．

解答：解：①∵抛物线的开口方向向下，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，b＞0，即abc＞0，本选项错误；
②由图象得：抛物线与x轴的两交点坐标得到方程ax²+bx+c=0的根为x₁=-1，x₂=3，本选项正确；
③由图象得到x=1时，对应的函数值小于0，即a+b+c＜0，本选项错误；
④由抛物线的对称轴为直线x=1，利用增减性得到当x＞1时，y随x值的增大而增大，本选项正确；
⑤∵抛物线的顶点横坐标为1，且开口向下，
∴当x=1时，对应的函数值最小，即a+b+c≤am²+bm+c（m为实数），
即为x=1对应的函数值小于x=m时对应的函数值，
∴a+b≤am²+bm=m（am+b），本选项正确；
⑥由图象得到函数值小于0时，x的范围为-1＜x＜3，本选项正确．
则正确的选项有：②④⑤⑥．
故答案为：②④⑤⑥．

点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．