Question

如图，在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、3、3.5，正放置的四个正方形的面积依次是S₁、S₂、S₃、S₄，则S₁+2S₂+2S₃+S₄=（　　）

A．7.5

B．6.5

C．4.5

D．4

Answer 1

分析：先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE²+BE²=BD²，代换后有DE²+AC²=BD²，根据正方形的面积公式得到S₁=AC²，S₂=DE²，BD²=1，所以S₁+S₂=1，利用同样方法可得到S₂+S₃=3，S₃+S₄=3.5，通过计算可得到S₁+2S₂+2S₃+S₄=1+3+3.5=7.5．

解答：解：如图，∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD=90°，AB=DB，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∵在△ABC和△BDE中，

∠ACB=∠BED ∠CAB=∠EBD AB=BD

，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC=BE，
∵DE²+BE²=BD²，
∴DE²+AC²=BD²，
∵S₁=AC²，S₂=DE²，BD²=1，
∴S₁+S₂=1，
同理可得S₂+S₃=3，S₃+S₄=3.5，
∴S₁+2S₂+2S₃+S₄=1+3+3.5=7.5．
故选A．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．