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16.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,AF∥BC,交BE延长线于点F.
(1)如图1,求证:BD=AF;
(2)如图2,连接CF,当∠BAC=90°时,判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论;
(3)如图3,在(2)的条件下,当AB=AC时,请直接写出四边形ADCF的形状.

分析 (1)由E为AD的中点,AF∥BC,易证得△AEF≌△DEB,即可证得结论;
(2)由(1)与AD为BC边上的中线,易证得四边形ADCF是平行四边形,然后由∠BAC=90°,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可证得AD=CD,即可判定四边形ADCF是菱形;
(3)由AB=AC,根据三线合一的性质,可判定AD⊥BC,继而证得四边形ADCF是正方形.

解答 (1)证明:∵E为中点,AF∥BD,
∴FE=BE,∠EAF=∠EDB,
在△AEF和△DEB中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EDB}\\{∠AEF=∠DEB}\\{FE=BE}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△DEB(AAS),
∴AF=BD;

(2)四边形ADCF是菱形.
理由:∵AD为BC边上的中线,
∴BD=DC,
∵AF=BD,
∴AF=DC,
∵AF∥DC,
∴四边形ADCF为平行四边形,
∵∠BAC=90°,
∵AD=DC=$\frac{1}{2}$BC,
∴?ADCF为菱形;

(3)四边形ADCF是正方形.
理由:∵AB=AC,AD为BC边上的中线,
∴AD⊥BC,
即∠ADC=90°,
∴菱形ADCF是正方形.

点评 此题属于四边形的综合题.考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及正方形的判定等知识.注意掌握各特殊四边形的判定与性质是解此题的关键.

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