Question

16．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，AF∥BC，交BE延长线于点F．
（1）如图1，求证：BD=AF；
（2）如图2，连接CF，当∠BAC=90°时，判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，当AB=AC时，请直接写出四边形ADCF的形状．

Answer 1

分析 （1）由E为AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可证得结论；
（2）由（1）与AD为BC边上的中线，易证得四边形ADCF是平行四边形，然后由∠BAC=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得AD=CD，即可判定四边形ADCF是菱形；
（3）由AB=AC，根据三线合一的性质，可判定AD⊥BC，继而证得四边形ADCF是正方形．

解答 （1）证明：∵E为中点，AF∥BD，
∴FE=BE，∠EAF=∠EDB，
在△AEF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EDB}\\{∠AEF=∠DEB}\\{FE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD；

（2）四边形ADCF是菱形．
理由：∵AD为BC边上的中线，
∴BD=DC，
∵AF=BD，
∴AF=DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∵AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴?ADCF为菱形；

（3）四边形ADCF是正方形．
理由：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
即∠ADC=90°，
∴菱形ADCF是正方形．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及正方形的判定等知识．注意掌握各特殊四边形的判定与性质是解此题的关键．