Question

已知抛物线y=x²-（k+2）x+

5k+2

4

和直线y=（k+1）x+（k+1）²．
（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；
（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）由判别式△=（k+2）²-4×1×

5k+2

4

=k²-k+2=（k-

1

2

）²+

7

4

＞0，即可证得无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）由抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，可得x₁•x₂=

5k+2

4

，x₃=-（k+1），继而可求得答案；
（3）由CA•GE=CG•AB，易得△CAG∽△CBE，继而可证得△OAD∽△OBE，则可得

OA

OB

=

OD

OE

，又由抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，可得OA•OB=

5k+2

4

，OD=

5k+2

4

，OE=（k+1）²，继而求得点B的坐标为（k+1，0），代入解析式即可求得答案．

解答：（1）证明：∵△=（k+2）²-4×1×

5k+2

4

=k²-k+2=（k-

1

2

）²+

7

4

，
∵（k-

1

2

）²≥0，
∴△＞0，
故无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）解：∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，
∴x₁•x₂=

5k+2

4

，
令0=（k+1）x+（k+1）²，
解得：x=-（k+1），
即x₂=-（k+1），
∴x₁•x₂•x₃=-（k+1）•

5k+2

4

=-

5

4

（k+

7

10

）²+

9

80

，
∴x₁•x₂•x₃的最大值为：

9

80

；

（3）解：∵CA•GE=CG•AB，
∴

CA

CB

=

CG

CE

，
∵∠ACG=∠BCE，
∴△CAG∽△CBE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
∴△OAD∽△OBE，
∴

OA

OB

=

OD

OE

，
∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，
∴OA•OB=

5k+2

4

，OD=

5k+2

4

，OE=（k+1）²，
∴OA•OB=OD，
∴

OA

OB

=

OA•OB

OE

，
∴OB²=OE，
∴OB=k+1，
∴点B（k+1，0），
将点B代入抛物线y=x²-（k+2）x+

5k+2

4

得：（k+1）²-（k+2）（k+1）-

5k+2

4

=0，
解得：k=2，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3．

点评：此题属于二次函数的综合题，综合性很强，难度较大，主要考查了一次函数与二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．