Question

1．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2$\sqrt{2}$，AD=1，F是BE的中点．若将△ADE绕点A旋转一周，则线段AF长度的取值范围是（　　）

• A． $\frac{4-\sqrt{2}}{2}$≤AF≤$\frac{4+\sqrt{2}}{2}$
• B． 2≤AF≤3
• C． $\frac{4-\sqrt{2}}{2}$≤AF≤3
• D． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$≤AF≤$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 过点A以AE长为半径作圆，可知当AF最大与最小时，E点与AB共线，由此可得出AF的范围．

解答 解：根据旋转的特性，画出E点旋转一圈的轨迹，如图．

结合图形可知：
①当E落在E′位置时，AF最大，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2$\sqrt{2}$，AD=1，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4，AE′=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BE′=AB-AE′=4-$\sqrt{2}$，
∵F是BE′的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE′=$\frac{4-\sqrt{2}}{2}$，AF=AB-BF=4-$\frac{4-\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4+\sqrt{2}}{2}$；
②当E落在E″位置时，AF最小，
∵BE″=AB+AE″=4+$\sqrt{2}$，且F是BE″的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE″=$\frac{4+\sqrt{2}}{2}$，
AF=AB-BF=4-$\frac{4+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4-\sqrt{2}}{2}$．
综合①②可知：$\frac{4-\sqrt{2}}{2}$≤AF≤$\frac{4+\sqrt{2}}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了旋转的性质，解题的关键是：明白“过点A以AE长为半径作圆，当AF最大与最小时，E点与AB共线”．