Question

14．△OAB是⊙O的内接三角形，∠AOB=120°，过O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点C，延长OB至点D，使OB=BD，连CD．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若F为OE上一点，BF的延长线交⊙O于G，连OG，$\frac{BF}{FG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，CD=6$\sqrt{3}$，求S_△GOB．

Answer 1

分析 （1）证明BC=OB=BD，可得∠OCD=90°，所以CD是⊙O切线；
（2）先求BE=3$\sqrt{3}$，⊙O的半径为6，过G作GH⊥OE于H，求GH的长也是6，即H与O重合，OG⊥OF，根据比例$\frac{OF}{EF}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，求得OF=12-6$\sqrt{3}$，最后利用面积和求面积．

解答 解：（1）连接BC，
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OC=OB，
∴BC=OB=BD，
∴CB=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O切线；

（2）由（1）知：∠OCD=90°，
∵∠OEB=90°，
∴AB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{OB}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，
∴BE=3$\sqrt{3}$，
Rt△OEB中，sin60°=$\frac{BE}{OB}$，
∴OB=3$\sqrt{3}$$÷\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
∴OC=6，OE=3，
过G作GH⊥OE于H，
∴GH∥BE，
∴△GHF∽△BEF，
∴$\frac{BF}{FG}=\frac{BE}{GH}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{GH}$，
∴GH=6，
∴GH=OG=6，
即H与O重合，OG⊥OF，
∴$\frac{OF}{EF}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∵OF+EF=OE=3，
∴OF=12-6$\sqrt{3}$，
∴S_△GOB=S_△GOF+S_△BOF=$\frac{1}{2}$OG$•OF+\frac{1}{2}OF•BE$=$\frac{1}{2}OF$•（OG+BE）=$\frac{1}{2}$（12-6$\sqrt{3}$）（6+3$\sqrt{3}$）=9．

点评 本题考查了切线的判定、三角形相似的性质和判定、特殊的三角函数值、垂径定理，熟练掌握切线的判定方法；第二问有难度，证明OG⊥OF是关键．