Question

分解因式：x⁴+2x³+3x²+2x+1=

 

．

Answer 1

分析：本题所给的是一元整系数多项式，根据求根法，若原式有有理根，则只可能是±1（1的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为（x²+ax+b）（x²+cx+d）的形式．

解答：解：设原式=（x²+ax+b）（x²+cx+d）=x⁴+（a+c）x³+（b+d+ac）x²+（ad+bc）x+bd，
所以有

a+c=2 b+d+ac=3 ad+bc=2 bd=1

，解得

a=1 b=1 c=1 d=1

．
∴原式=（x²+x+1）（x²+x+1）=（x²+x+1）²．
故答案为（x²+x+1）²．

点评：本题考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛．本题超出教材大纲要求，属于竞赛题，有一定难度．