Question

9．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求边AB的长；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）过C作y轴垂线，过D作x轴垂线，分别交于点E，F，可得三角形CBE与三角形ADF与三角形AOB全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C与D坐标即可；
（3）作出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，连接BD，BM，此时△MDB周长最小，求出此时M的坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=$\frac{1}{2}$x+1，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=-2，
∴A（-2，0），B（0，1），
在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；   
（2）作CE⊥y轴，DF⊥x轴，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，

∵正方形ABCD，
∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，
∴△BCE≌△DAF≌ABO，
∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，
∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，
∴C（-1，3），D（-3，2）；
（3）找出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小，

∵B（0，1），
∴B′（0，-1），
设直线B′D的解析式为y=kx+b，
把B′与D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{-3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，即直线B′D的解析式为y=-x-1，
令y=0，得到x=-1，即M（-1，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．