Question

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为

5

、

10

、

13

，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为：

 

．
（2）若△DEF三边的长分别为

5

、

8

、

17

，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．
（3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13、10、17
①试说明△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；
②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：（1）画出格子后可以根据格子的面积很容易的算出三角形的面积，大矩形的面积减去矩形内除去所求三角形的面积即可．
（2）构造时取（1，3）（2，2）（1，4）即可．
（3）过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解无理方程求出h，从而求出△PQR的面积，再根据六边形被分成的四个三角形的面积相等，总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解．

解答：解：（1）根据格子的数可以知道面积为S=3×3-

1

2

×3×2-

1

2

×1×2-

1

2

×1×3=

7

2

；
故答案是：

7

2

；

（2）画图为
计算出正确结果S_△DEF=2×4-

1

2

（1×2+1×4+2×2）=3；

（3）①如图3，过R作RH⊥PQ于H，设RH=h，
在Rt△PRH中，PH=

PR2-RH2

=

13-h2

，
在Rt△RQH中，QH=

RQ2-RH2

=

10-h2

，
∴PQ=

13-h2

+

10-h2

=

17

，
两边平方得，13-h²+10-h²+2

13-h2

•

10-h2

=17，
整理得

13-h2

•

10-h2

=2+h²，
两边平方得，（13-h²）（10-h²）=4+4h²+h⁴，
解得h=

11 17

34

，
∴S_△PQR=

1

2

PQ•RH=

11

2

，
同理，S_△BCR=S_△DEQ=S_△AFP=

11

2

，
∴△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；
②利用构图法计算出S_△PQR=

11

2

，
△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等，
计算出六边形花坛ABCDEF的面积为S_{正方形PRBA}+S_{正方形RQDC}+S_{正方形QPFE}+4S_△PQR=13+10+17+4×=62．

点评：本题是一种简单的求解三角形面积的算法，可以求出任意三角形的面积，方便省时．