Question

20．已知关于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且满足x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=31+|x₁x₂|，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知关于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+2=0的两个实数根分别为x₁、x₂，根据方程根的判别式求出m的范围；
（2）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=（2m+3），x₁•x₂=m²+2，然后解方程即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+2=0有实数根，
∴b²-4ac=（2m+3）²-4（m²+2）≥0，
∴m≥-$\frac{1}{12}$；

（2）根据题意得：
x₁+x₂=2m+3，x₁•x₂=m²+2，
∵x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=31+|x₁x₂|，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=31+|x₁x₂|，
∴（2m+3）²-2（m²+2）=31+m²+2，
∴m=14或-2，符合题意．
∵m≥-$\frac{3}{4}$；
故m的值为14．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．