Question

如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；
②∠BAC=90°（如图）

附加题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．

Answer 1

分析：（1）分三种情况讨论，当∠BAC=90°，易得△ABC≌△AED；根据直角三角形的性质，可得ED=2AM；进而可以在∠BAC＞90°与∠BAC＜90°时，比较可得有ED＞2AM的结论；
（2）根据（1）的结论，选取②易得答案．

解答：解：（1）分三种情况；
当∠BAC=90°，M是BC的中点
∴AM=BM=MC=

BC

2

∠EAD=∠BAC=90°，AE=AB，AC=AD
∴△ABC≌△AED
∴ED=BC
∴ED=2AM
同理当∠BAC＞90°，易得ED=2AM
当∠BAC＜90°，易得ED=2AM

（2）已知（1）的结论，若∠BAC=90°，可得ED=2AM
附加：结合上题可得：2AM=DE
延长CA到F使AF=AC，连接BF
易证△ABF≌△ADE
∴BF=DE
∵2AM=BF
∴2AM=DE．

点评：本题为探究性题目，要求学生能全面考查可能出现的情况，并依次求出其中的关系．