Question

已知，如图直线l的解析式为y=x+4，交x、y轴分别于A、B两点，点M（-1，3）在直线l上，O为原点．
（1）点N在x轴的负半轴上，且∠MNO=60°，则AN=______；
（2）点P在y轴上，线段PM绕点P旋转60°得到线段PQ，且点Q恰好在直线l上，则点P的坐标为______．

Answer 1

解：（1）如图1，过点M作MH⊥OA于H，
∵点M（-1，3），
∴MH=3，OH=1，
∵∠MNO=60°，
∴NH==，
∵直线l的解析式为y=x+4，交x、y轴分别于A、B两点，
∴A（-4，0），
∴OA=4，
∴AN=OA-OH-NH=4-1-=3-；

（2）如图2，∵点P在y轴上，线段PM绕点P旋转60°得到线段PQ，
∴PM=PQ，∠MPQ=60°，
∴△PMQ是等边三角形，
∴PQ=PM=MQ，
设P的坐标为（0，b），点Q的坐标为：（a，a+4），
∵PQ=PM，
∴1+（b-3）²=a²+（a+4-b）²，
∴a²-1=（b-3）²-（a+4-b）²，
∴（a+1）（a-1）=[（b-3）+（a+4-b）][（b-3）-（a+4-b）]，
∴a-1=2b-a-7，
解得：a=b-3，
∴点Q的坐标为：（b-3，b+1），
∵PM=MQ，
∴1+（b-3）²=[（b-3）-（-1）]²+（b+1-3）²，
即b²-2b-2=0，
解得：b=1+或b=1-，
∴点P的坐标为：（0，1+）或（0，1-）．
故答案为：（1）3-；（2）（0，1+）或（0，1-）．
分析：（1）首先过点M作MH⊥OA于H，由∠MNO=60°，点M（-1，3），利用三角函数的知识即可求得NH的长，又由直线l的解析式为y=x+4，交x、y轴分别于A、B两点，可求得OA的长，继而可求得AN的长；
（2）由点P在y轴上，线段PM绕点P旋转60°得到线段PQ，可得△PMQ是等边三角形，然后设P的坐标为（0，b），点Q的坐标为：（a，a+4），利用两点式可得方程，解方程即可求得答案．
点评：此题考查了一次函数的性质、锐角三角函数的定义、等边三角形的判定与性质、两点间的距离公式、平方差公式的应用以及一元二次方程解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关键．