Question

已知：在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（4，0），点C在y轴正半轴上，且OB=2OC．
（1）试确定直线BC的解析式；
（2）在平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）易求B（4，0），C（0，2）．把它们的坐标分别代入直线BC的解析式y=kx+b（k≠0），列出关于k、b的方程组，通过解该方程组即可求得它们的值；
（2）需要分类讨论：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形．

解答：解：（1）∵B（4，0），∴OB=4，
又∵OB=2OC，C在y轴正半轴上，
∴C（0，2）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．
∵过点B（4，0），C（0，2），
∴

4k+b=0 b=2

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直线BC的解析式为y=-

1

2

x+2．

（2）如图，①当BC为对角线时，易求M₁（3，2）；
②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM=AB．所以M₂（-3，2）；
③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC=BM．则|M_y|=OC=2，|M_x|=OB+OA=5，所以M₃（5，-2）．
综上所述，符合条件的点M的坐标是M₁（3，2），M₂（-3，2），M₃（5，-2）．

点评：本题考查了一次函数综合题．期中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质．解题时，注意分类讨论，以防错解或漏解．