Question

9．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知∠AOC不是直角，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE．
（1）当∠AOC的度数在0°到90°之间时（不包含0°和90°），求∠FOB与∠DOC的度数和；
（2）若∠DOC=3∠COF，求∠AOC的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据射线OD平分∠AOC，∠AOD=∠COD，射线OE平分∠BOC，得∠COE=∠BOE，再根据∠AOC+∠BOC=180°，得出∠DOE=90°，由射线OF平分∠DOE，得∠DOF=∠EOF=45°，从而求得∠FOB+∠DOC的度数；
（2）设∠AOD=∠COD=x°，分∠AOC为锐角和钝角两种情况，根据∠DOC=3∠COF，得出x的值，即可求得∠AOC的度数．

解答 解：如图1，
（1）∵射线OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=90°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠DOF=∠EOF=∠DOE=45°，
∴∠FOB+∠DOC=∠BOF+∠AOD=180°-∠DOF=180°-45°=135°；

（2）设∠AOD=∠COD=x°，则∠AOC=2x°，
由（1）的证明过程可知∠DOE=90°，∠DOF=∠EOF=45°，
∠AOC≠90°，分情况考虑如下：
①当∠AOC为锐角时，如图1，∠COF=∠DOF-∠COD=45°-x，
∵∠DOC=3∠COF，
∴x=3•（45°-x），
解得x=33.75°，
∴∠AOC=2x=67.5°．
②当∠AOC为钝角时，如图2，∠COF=∠COD-∠DOF=x-45°，
∵∠DOC=3∠COF，
∴x=3•（x-45°），
解得x=67.5°，
∴∠AOC=2x=135°．
综合，可得∠AOC=67.5°或135°．

点评 本题考查了角的计算和角平分线的定义，一定要注意角平分线的几种表示方法．如：∠1=∠2，∠1=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠AOB=2∠1．