Question

如图，已知二次函数L₁：y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）二次函数L₂：y=kx²-4kx+3k（k≠0），顶点为P．
①直接写出二次函数L₂与二次函数L₁有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L₂交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知抛物线的解析式，当函数值为0时，可求得A、B的横坐标，由此得解．
（2）①直接从系数的变化情况来进行分析；
②当△ABP为等边三角形时，P点必为函数的顶点，首先表示出P点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的倍，由此确定k的值；
③联立直线y=8k和抛物线的解析式，求出E、F两点的坐标，然后判断EF是否为定值．
解答：解：（1）当y=0时，x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3；
即：A（1，0），B（3，0）；

（2）①二次函数L₂与L₁有关图象的两条相同的性质：
（Ⅰ）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标为2；
（Ⅱ）都经过A（1，0），B（3，0）两点；
②存在实数k，使△ABP为等边三角形．
∵y=kx²-4kx+3k=k（x-2）²-k，
∴顶点P（2，-k）．
∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2
要使△ABP为等边三角形，必满足|-k|=，
∴k=±；

③线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y=8k与抛物线L₂交于E、F两点，
∴kx²-4kx+3k=8k，
∵k≠0，∴x²-4x+3=8，
∴x₁=-1，x₂=5，
∴EF=x₂-x₁=6，
∴线段EF的长度不会发生变化．
点评：该题考查了二次函数的性质、函数图象交点坐标的求法、等边三角形的性质等知识，虽然题目较长，但难度适中，适合训练．