Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知关于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0．
（1）若a，b是方程的两根，求证△ABC为直角三角形；
（2）若在（1）的条件下，且25asinA=9c，求此直角三角形三边的长．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系，推出a，b，c的三边关系，从而根据勾股定理的逆定理可证．
（2）由三角函数的定义，结合已知，分析三边关系，再结合根与系数的关系可求得c，从而求出a，b．

解答：解：（1）∵a，b是方程的根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8．
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×（4c+8）=c²+8c+16-8c-16=c²．
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．

（2）由（1）知∠C=90°，故sinA=

a

c

．
又25asinA=9c，则sinA=

9c

25a

，
∴

a

c

=

9c

25a

，
∴

a2

c2

=

9

25

，
得

a

c

=

3

5

，
则可得

b

c

=

4

5

．
由a+b=c+4，可得

7

5

c=c+4，
解得c=10．
∴a=6，b=8．

点评：此类题目是中学阶段常规题目，此类题目在根据根与系数的关系解得答案时要代入原方程得判别式进行检验．一元二次方程的两个根x₁、x₂具有这样的关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．