精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
17.如图,在矩形ABCD中,AD=3,以顶点D为圆心,1为半径作⊙D,过边BC上的一点P作射线PQ与⊙D相切于点Q,且交边AD于点M,连接AP,若AP+PQ=2$\sqrt{6}$,∠APB=∠QPC,则∠QPC 的大小约为64度40分.(参考数据:sin11°32′=$\frac{1}{5}$,tan36°52′=$\frac{3}{4}$)

分析 作辅助线,构建直角三角形DQN,先得出NQ=AP+PQ=2$\sqrt{6}$,再由勾股定理求出DN的长,分别在Rt△AND和Rt△NQD中,根据三角函数求∠AND和∠DNQ的度数,得出结论.

解答 解:如图,延长MP和AB交于点N,连接DN、DQ,
∵射线PQ与⊙D相切于点Q,
∴DQ⊥NQ,DQ=1,
∵∠APB=∠QPC,∠QPC=∠BPN,
∴∠APB=∠BPN,
∵BP⊥AN,
∴AP=PN,
∴NQ=AP+PQ=2$\sqrt{6}$,
由勾股定理得:DN=$\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}+{1}^{2}}$=5,AN=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4,
在Rt△AND中,tan∠AND=$\frac{AD}{AN}$=$\frac{3}{4}$,
∵tan36°52′=$\frac{3}{4}$,
∴∠AND=36°52′,
在Rt△NQD中,sin∠DNQ=$\frac{DQ}{DN}$=$\frac{1}{5}$,
∵sin11°32′=$\frac{1}{5}$,
∴∠DNQ=11°32′,
∴∠BNP=36°52′-11°32′=25°20′,
∴∠QPC=∠BPN=90°-25°20′=64°40′.
故答案为:64,40.

点评 本题综合考查了切线、矩形的性质,利用勾股定理求边长,并根据条件解直角三角形;在几何证明中,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

7.已知,点A(-2,1),B(-3,0),C(-1,1).请在平面直角坐标系xOy中分别标出点A,B,C的位置,顺次连接A、B、C三点,并将三角形ABC向右平移3个单位,向下平移1个单位,画出平移后的图形.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

8.如图,△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A′B′C,问:
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转角是什么?
(3)如果点M是BC的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

5.已知果农贩卖的西红柿,其重量与价钱成一次函数关系.今小华向果农买一竹篮的西红柿,含竹篮称得总重量为15公斤,付西红柿的钱26元,若他再加买0.5公斤的西红柿,需多付1元,则空竹篮的重量为多少公斤?(  )
A.1.5B.2C.2.5D.3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

12.下列各组图形中,可以通过平移互相得到的是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

2.点P(2016,-2016)在(  )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

9.下列说法:①无理数都是无限小数;②有理数与数轴上的点一一对应;③$\frac{π}{2}$是分数;④2$\sqrt{3}$<3$\sqrt{2}$;⑤±6是$\sqrt{36}$的平方根,其中正确的有(  )个.
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

6.将抛物线y=-x2+bx+c向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得抛物线y=-x2+2x+8.求原抛物线的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

7.如图,把长方形ABCD旋转到长方形GBEF的位置,此时点A,B,E在一条直线上.
(1)指出这个过程中的旋转中心,并说明旋转角度数是多少;
(2)指出图中的对应线段;
(3)连按BD,BF,DF,判断△DBF的形状,并说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案