分析 作辅助线,构建直角三角形DQN,先得出NQ=AP+PQ=2$\sqrt{6}$,再由勾股定理求出DN的长,分别在Rt△AND和Rt△NQD中,根据三角函数求∠AND和∠DNQ的度数,得出结论.
解答 解:如图,延长MP和AB交于点N,连接DN、DQ,
∵射线PQ与⊙D相切于点Q,
∴DQ⊥NQ,DQ=1,
∵∠APB=∠QPC,∠QPC=∠BPN,
∴∠APB=∠BPN,
∵BP⊥AN,
∴AP=PN,
∴NQ=AP+PQ=2$\sqrt{6}$,
由勾股定理得:DN=$\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}+{1}^{2}}$=5,AN=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4,
在Rt△AND中,tan∠AND=$\frac{AD}{AN}$=$\frac{3}{4}$,
∵tan36°52′=$\frac{3}{4}$,
∴∠AND=36°52′,
在Rt△NQD中,sin∠DNQ=$\frac{DQ}{DN}$=$\frac{1}{5}$,
∵sin11°32′=$\frac{1}{5}$,
∴∠DNQ=11°32′,
∴∠BNP=36°52′-11°32′=25°20′,
∴∠QPC=∠BPN=90°-25°20′=64°40′.
故答案为:64,40.
点评 本题综合考查了切线、矩形的性质,利用勾股定理求边长,并根据条件解直角三角形;在几何证明中,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.
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A. | 1.5 | B. | 2 | C. | 2.5 | D. | 3 |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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