Question

如图在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若BC=8cm，AD=6cm，
（1）PN=2PQ，求矩形PQMN的周长
（2）当PN为多少时矩形PQMN的面积最大，最大值为多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,矩形的性质

专题：

分析：（1）由题意可得出PQ：AD=BP：AB，PN：BC=AP：AB，BC=8，AD=6，据此可得出PQ，PN的值，故可得出矩形PQMN的周长；
（2）设长方形零件PQMN的边AE=x，矩形PQMN的面积为S，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值．

解答：解：（1）由题意得；PQ：AD=BP：AB，PN：BC=AP：AB
∴

PQ

AD

+

PN

BC

=

BP

AB

+

AP

AB

=

AP+PB

AB

=

AB

AB

=1，
又∵PN=2PQ，BC=8cm，AD=6cm，
∴

PQ

6

+

2PQ

8

=1，
∴PQ=2.4
则PN=4.8，
∴矩形PQMN的周长=14.4cm；
（2）∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，∠PQM=90°，∠QPN=90°，
∴△PAN∽△ABC，
∵AD是高，
∴∠ADB=90°，
∴四边形PQDE是矩形，∠AEN=90°，
∴

AE

AD

=

PN

BC

，PQ=DE，
设AE=x，矩形PQMN的面积为S，
则

x

6

=

PN

8

，DE=6-x，
∴PN=

4

3

x，PQ=6-x，
∴S=-

4

3

x²+8x．
∴当x=

8

8 3

=3时，S的最大值为12．，
∴当AE=3时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是12．

点评：本题考查了用二次函数的方法解决面积问题，是函数性质的实际运用，需要从计算矩形面积着手，求矩形的长、宽，同时考查了拼接问题，需要从图形的特殊性着手．