Question

【题目】小明到某超市购买A、B、C三种商品．其中A、B两种商品的单价之和正好等于C商品的单价，小明前两次购买商品的数量和总费用如下表：

	商品A的数量	商品B的数量	商品C的数量	总费用（元）
第一次	2	3	2	230
第二次	1	4	3	290

（1）求A、B、C三种商品的单价；

（2）若小明第三次需要购置A、B、C三种商品共m个，其中C商品的数量是A商品的数量的2倍，恰好花了480元钱．

①求m的最大值；

②若小明在第三次购买A，B，C三种商品时正好遇上“买一送一”活动，即购买一个C商品即可赠送一个A商品或一个B商品（优先赠送A商品），求m的值．

Answer 1

【答案】（1）A、B、C三种商品的单价分别为20元，30元，50元；（2）①m的最大值为15；②m =18

【解析】

（1）设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，(x+y)元，根据两次购买商品的费用建立方程组求解；

（2）①设第三次购置A商品a个，B商品b个，C商品2a个，则m=3a+b．根据总费用480元建立方程，可求m的最值；

②分两种情况讨论：当a≥b时，则购买C商品2a个即可，当a<b时，A不用购买，有赠送，B只要购买(b－a)个，列方程求解．

（1）设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，(x+y)元，

则由题意得：，

得：，则有x+y=20+30=50，

答：A、B、C三种商品的单价分别为20元，30元，50元．

（2）设第三次购置A商品a个，B商品b个，C商品2a个，

则m=3a+b．

①20a+30b+50×2a=480，得：4a+b=16，

由a，b均为正整数，可以求得或或，

∴m的最大值为15．

②当a≥b时，则购买C商品2a个即可，50×2a=480（不合题意）

当a<b时，A不用购买，有赠送，B只要购买(b－a)个

∴30(b－a)+50×2a=480，

由a，b均为正整数，可以求得，则m=3a+b=18．