Question

如图，点E是直线y=x与双曲线y=

k

x

在第一象限的交点，且OE=4

2

．
（1）求双曲线的解析式；
（2）将直线y=x向上平移a（a＞0）个单位后与双曲线y=

k

x

（x＞0）交与点F，作FM⊥y轴于M，EN⊥x轴于N，完成图并证明：无论当a取何值，四边形ENMF是梯形．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数综合题

分析：（1）设E（x，x），由OE=4

2

，根据两点间的距离公式得到x²+x²=32，解方程求出x的值，得到点E的坐标，即可求出双曲线的解析式；
（2）先由直线平移的规律可知将直线y=x向上平移a（a＞0）个单位后得到直线y=x+a．设F（x，x+a），则x+a=

16

x

，再分别求出直线EF与直线MN的斜率，及EF与MN的长度，证明EF∥MN，且EF≠MN即可．

解答：解：（1）设E（x，x），则x＞0．
∵OE=4

2

，
∴x²+x²=32，
解得x=4，
∴E（4，4），
∵点E在双曲线y=

k

x

上，
∴k=4×4=16，
双曲线的解析式为y=

16

x

；

（2）将直线y=x向上平移a（a≠0）个单位后得到直线y=x+a．
设F（x，x+a），则M（0，x+a）．
∵点F在双曲线y=

16

x

上，
∴x+a=

16

x

．
∵E（4，4），F（x，x+a），
∴直线EF的斜率为

x+a-4

x-4

=

16 x -4

x-4

=-

4

x

，
EF²=（x-4）²+（x+a-4）²=（x-4）²+（

16

x

-4）²=（

16

x

）²+16+x²-8x-

128

x

+16=（

16

x

）²+16+（x+

16

x

）（x-8），
∵a＞0，
∴x＜4，
∵x＞0，
∴0＜x＜4，
∴（x+

16

x

）（x-8）＜0，
∴EF²=（

16

x

）²+16+（x+

16

x

）（x-8）＜（

16

x

）²+16．
∵M（0，x+a），N（4，0），
∴直线MN的斜率为

x+a-0

0-4

=

16 x

-4

=-

4

x

，
MN²=（0-4）²+（x+a）²=（

16

x

）²+16．
∵直线EF的斜率=直线MN的斜率，a＞0，
∴EF∥MN，
∵EF＜MN，
∴无论当a取何值，四边形ENMF是梯形．

点评：本题考查了反比例函数的性质，两点间的距离公式，直线平移的规律，梯形的判定，综合性较强，有一定难度．