Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线对称轴l与x轴相交于点M．

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

(2)设点P为抛物线(x＞5)上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

(3)连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为　　1分 　　把点A(0，4)代入上式得：， 　　∴　　2分 　　∴抛物线的对称轴是：　　3分 　　(2)由已知，可求得P(6，4)　　5分 　　提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM＝3，又知点P的坐标中，所以，MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM＝5，此时点P横坐标为6，即AP＝6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 　　即P(6，4)　　5分 　　(注：如果考生直接写出答案P(6，4)，给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分) 　　(3)法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 　　设N点的横坐标为，此时点N(，过点N作NG∥轴交AC于G；由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：；把代入得：，则G， 　　此时：NG＝－()， 　　＝　　7分 　　∴ 　　∴当时，△CAN面积的最大值为， 　　由，得：，∴N(，－3)　　8分 　　法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则 　　(再设出点N的坐标，同样可求，余下过程略)