Question

如图：第一象限内的点A在一反比例函数图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B点，连接AO，已知△AOB的面积为4．①求反比例函数的解析式；②若点A的纵坐标为4，过点A的直线与x轴相交于点P，且△APB与△AOB相似，求所有符合条件的点P的坐标；③在②的条件下，求过P、O、A的抛物线的顶点坐标．

Answer 1

解：①设A（x_A，y_A）
∵
∵X_A＞0，Y_A＞0
∴x_Ay_A=8
设
∴x_Ay_A=k
∴k=8．
∴设比例函数解析式为．

②∵y_A=4，
∴x_A=2
∴A（2，4）
∴OB=2，AB=4
当∠AP₁B=∠AOB时，△AOB≌△APB
∴PB=OB=2，∴P₁（4，0）
当∠AP₂B=∠OAB时△AOB∽△P₂AB
可以由∴BP₂=8，∴P₂（10，0）．
当P₃在x轴负半轴上时，
且P₃与P₂关于点B对称也满足△AOB∽△P₃BA
由P₂（10，0），B（2，0），
∴P₃（-6，0）．

③当抛物线经过P₁（4，0），O（0，0），A（2，4）时
设解析式为y=ax²+bx+c
解
∴解析式为y=-x²+4x
∴顶点坐标是（2，4）
当抛物线经过P₂（10，0），O（0，0），A（2，4）时
设所求抛物线为y=a₂x²+b₂x
则
∴
∴顶点坐标是（5，）．
设经过P₃（-6，0），O（0，0），A（2，4）的解析式为：y=a₃x²+b₃x
则∴
∴抛物线的解析式是
∴顶点坐标是（3，）．
分析：（1）求反比例函数的解析式实质求Y=中K值，因为△AOB的面积为4，所以K=8；
（2）△APB与△AOB相似，可能全等，也可能相似，所以有三个点满足条件；
（3）欲求过P、O、A的抛物线的顶点坐标，先求其解析式，知道P、O、A三点坐标，用待定系数法易求，即解．
点评：此题难度中等，考查反比例、二次函数的图象性质及用待定系数法求函数的解析式，以及两三角形相似等知识点．