[题目]如图.菱形ABCD的边长为4.∠B＝120°．点P是对角线AC上一点(不与端点A重合).则线段AP+PD的最小值为．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则线段AP+PD的最小值为_____．

【答案】2

【解析】

作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，由菱形的性质可得∠DAC=∠CAB，AB=BC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得PE=AP，AF=AD=2，DF=AF=2，可得AP+PD=PE+DP，则点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，即可求线段AP+PD的最小值．

解：如图，作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，

∵四边形ABCD是菱形
∴∠DAC=∠CAB，AB=BC，且∠B=120°
∴∠CAB=30°
∴PE=AP，∠DAF=60°
∴∠FDA=30°，且DF⊥AB
∴AF=AD=2，DF=AF=2
∵AP+PD=PE+DP
∴当点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF，
∴线段AP+PD的最小值为2
故答案为：2

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简单应用：

（1）在图①中，若AC=2，BC=4，则CD= ．

（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，弧AD＝弧BD，若AB=13，BC=12，求CD的长．

拓展规律：

（3）如图4,△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=AC，CE=CA，且点E在直线AC的左侧时，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是．

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（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

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