Question

如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；
（2）若DC=2，AB=8，求⊙O的直径．

Answer 1

解：（1）∵OD⊥AB
∴弧AD=弧BD
∴∠DEB=∠AOD=×54°=27°…3分

（2）∵OD⊥AB
∴AC=AB=×8=4 …4分
设⊙O的半径为R，则OC=R-2
在Rt△AOC中，由勾股定理得：4²+（R-2）²=R²….6分
解得：R=5 ….7分
∴⊙O的直径为10 …8分．
分析：（1）欲求∠DEB，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
（2）利用垂径定理可以得到AC=BC=AB=4，设⊙O的半径为R，则OC=R-2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：4²+（R-2）²=R²，求得R即可求得圆的直径．
点评：本题考查了：圆周角与圆心角：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．垂径定理：垂直于弦的直径平分线并且平分弦所在的弧．