Question

4．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=$\frac{2}{3}$，则△ABC的边长为3．

Answer 1

分析 根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CD}$，代入求出即可．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CD}$，
∵CD=$\frac{2}{3}$，CP=BC-BP=x-1，BP=1，
即$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{\frac{2}{3}}$，
解得：AB=3．
故答案为3．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．