Question

将一副直角三角板DEF按如图1摆放，使直角顶点D落在等腰Rt△ABC的斜边BC的中点上，DF，DE分别与AB，AC交于点M，N

（1）如果把图1中的△DCN绕点D顺时方向旋转180^。，得到图2，在不添加任何辅助线的情况下，图2中除△DCN≌△DBG外，你还能找到一对全等的三角形吗?写出你的结论并说明理由.
（2）将三角板DEF绕点D旋转
①当M，N分别在AB，AC上时，线段BM，CN，MN之间有一个确定的等量关系.请你写出这个关系式(不需证明).
②如图3当点M，N分别在BA，AC的延长线上时， ①的关系式是否仍然成立?写出你的结论，并说明理由.

Answer 1

（1）△MGD≌△MND；
 证明: ∵△DCN绕点D顺时方向旋转180^。得到期 △ DBG
       ∴△DCN≌△DBG
        G，D，N三点共线.
          ∴DN=DG
      在△MGD和△MND中      
    MD=MD ∠MDG=∠MDN=90^。   DN=DG
    ∴△MGD≌△MND(SAS)；（答案不唯一）
（2）①BM²+CN²=MN²；
② 答 ①的关系式仍然成立
      将△DCN绕点D顺时方向旋转180^。连接GM 
      ∴△DCN≌△DBG; ∠DCN=∠DBG
      ∵等腰Rt△ABC ∴∠ABC=∠ACD=45^。
         ∴∠DCN=∠DBG=135^。    ∠ABG=∠DBG-∠ABC=90^。
      同理可证△MGD≌△MND
      GM=MN 在Rt△GBM中  :BG²+BM² =GN²
        ∴ BM²+CN²=MN²