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(2010•河源)如图,直角梯形OABC中,OC∥AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交x轴于E,D两点(D点在E点右方).
(1)求点E,D的坐标;
(2)求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式;
(3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.

【答案】分析:(1)设以BC为直径的圆的圆心为M,由于⊙M过点D,由圆周角定理可得∠BDC=90°;即可证得△ABD∽△ODC,可用OD表示出DA,根据相似三角形得到的比例线段,即可求得OD的长,由此可得到点D、E的坐标;
(2)用待定系数法求解即可求出该抛物线的解析式;
(3)首先求出直线CD的解析式;由于CD⊥BD,且点C在抛物线的图象上,因此C点就是符合条件的Q点;同理可先求出过B点且平行于CD的直线l的解析式,直线l与抛物线的交点(B点除外)也应该符合Q点的要求.
解答:解:(1)取BC的中点M,过M作MN⊥x轴于N;则M点即为以BC为直径的圆的圆心;
∵点D是⊙M上的点,且BC是直径,
∴∠BDC=90°;
∴∠OCD=∠BDA=90°-∠ODC;
又∵∠COD=∠OAB,
∴△OCD∽△ADB;

∵OC=3,AB=1,OA=OD+DA=4,
∴3×1=OD×(4-OD),
解得AD=1,OD=3;
∵点D在点E右边,
∴OD=3,OE=1;
即D(3,0),E(1,0);

(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,(a≠0),依题意,
有:
解得
∴y=x2-x+3;

(3)假设存在这样的Q点;
①△BDQ以D为直角顶点;
由于CD⊥BD,且C点在抛物线的图象上,
所以C点符合Q点的要求;
此时Q(0,3);
②△BDQ以B为直角顶点;
易知直线CD的解析式为:y=-x+3;
作过B的直线l,且l∥CD;
设l的解析式为y=-x+h,由于l经过点B(4,1),
则有:-4+h=1,h=5;
∴直线l的解析式为y=-x+5;
联立抛物线的解析式有:

解得
∴Q(-1,6);
综上所述,存在符合条件的Q点,且Q点坐标为(0,3)或(-1,6).
点评:此题主要考查的圆周角定理、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、直角三角形的判定等知识的综合应用,综合性强,难度较大.
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