Question

（2012•百色）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l是经过点C的切线，BD⊥l，垂足为D，且AC=8，sin∠ABC=

4

5

．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）过点A作直线l的垂线，垂足为E（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法、证明），并求出四边形ABDE的周长．

Answer 1

分析：（1）根据OC⊥l，BD⊥l，得出OC∥BD，再利用等边对等角以及平行线的性质得出∠CBD=∠OBC进而得出答案；
（2）以A为圆心大于A到l距离大于为半径画弧，进而得出E点，再利用相似三角形的判定得出△ACB∽△CDB，进而得出BD=3.6，CD=4.8，CE=4.8，AE=6.4，即可得出答案．

解答：（1）证明：如图1，
连接OC，则OC⊥l．
又∵BD⊥l，
∴OC∥BD．
∴∠OCB=∠CBD．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∴∠CBD=∠OBC．
∴BC平分∠ABD．

（2）解：如图2所示：
CE就是所求作的垂线．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴sin∠ABC=

AC

AB

=

8

AB

=

4

5

．
∴AB=10．
∴BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6．
∵∠CBD=∠OBC，∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ACB∽△CDB．
∴

AB

CB

=

BC

BD

=

AC

CD

，
即

10

6

=

6

BD

=

8

CD

．
∴BD=3.6，CD=4.8．
同理可得CE=4.8，AE=6.4．
∴DE=CD+CE=4.8+4.8=9.6．
∴四边形ABDE的周长=AB+DE+BD+AE=10+9.6+3.6+6.4=29.6．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质以及尺规作图和切线的性质等知识，利用已知得出△ACB∽△CDB是解题关键．